第一章 - 函数与极限

第一节 - 映射与函数

没见过的集合

$$\begin{eqnarray} a的 \delta 邻域:U(a,\delta )&=& \{ x|a- \delta <x<a+ \delta \} \\ 去心邻域: \mathring{U}(a, \delta )&=& \{ x|0<| x-a \mid < \delta \} \newline a:邻域中心 ~&|&~ \delta:邻域半径 \newline 左 \delta 邻域:(a- \delta ,a) ~&|&~ 右 \delta 邻域：(a,a+ \delta ) \end{eqnarray}$$

集合的运算

$$\begin{eqnarray} 并集 ~~ A \cup B &=& \{x|x \in A或x \in B \} \newline 交集 ~~ A \cap B &=& \{x|x \in A且x \in B \} \newline 差集 ~~ A-B &=& \{ x|x \in A 且 x \notin B \} \newline 直积 ~~ A \times B &=& \{ (x,y)|x \in A, y \in B \} \newline 余集 ~~ B_{A}^{~C} &=& A-B ~ (B \in A) \end{eqnarray}$$

映射

设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得 $\forall ~ x \in X$ , 有唯一确定的$~ y\in Y$与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作 $f:X \rightarrow Y$

元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 $y=f(x)$；
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像；
集合 X 称为映射 f 的定义域, 记作 $D_f$；
Y 的子集 $R_f=f(X)=\{ f(x)|x \in X \}$ 称为 f 的值域。

对映射 $f:X\rightarrow Y$：

若 $f(X)=Y$，则称 f 为满射

若 $\forall x_1,x_2\in X,x_1\ne x_2$，有 $f(x_1)\ne f(x_2)$，则称 f 为单射

若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射或一一映射

$$设映射 f: {A} \rightarrow {B}, {g}: {B} \rightarrow {C} , \newline 对任意的 \mathrm{x} \in {A}, {h}( {x})= {g}(\mathrm{f}( {x})) 为 {A} 到 {C} 的映射, \newline 称{h}为{f}和{g}的复合映射，记为{g} \circ {f}。\newline \newline \forall ~x \in D \overset{f}{\longmapsto} y\in R_f =f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}$$

函数的特性

有界性：

$$\begin{eqnarray} \forall~x\in D, \exists M>0,使|f(x)| &\le& M，称 f(x) 为有界函数。\newline \forall~x\in I, \exists M>0,使|f(x)| &\le& M, 称 f(x) 在I上有界。\newline \end{eqnarray}$$

单调性（略）

奇偶性（略）

周期性：周期函数不一定存在最小正周期，如

$$f(x)=C\newline \begin{align*} \begin{split} f(x)= \left \{ \begin{array}{lr} 1,& x为有理数\newline 0,& x为无理数\newline \end{array} \right. \end{split} \end{align*}$$

反函数与复合函数

反函数：

$$若函数 f: D \rightarrow f(D) 为单射, 则存在一新映射 f^{-1}: f(D) \rightarrow D , \newline 使 \forall y \in f(D), f^{-1}(y)=x , 其中 f(x)=y , \newline 称此映射 f^{-1} 为 f 的反函数.\newline 习惯上, y=f(x), x \in D 的反函数记成 y=f^{-1}(x), x \in f(D)$$

性质：

1. $y=f(x)$与$y=f^{-1}(x)$单调性相同
2. $y=f(x)$与$y=f^{-1}(x)$图形关于 $y=x$对称

复合函数：

$$设有函数链\newline y=f(u), ~u \in D_f \newline u=g(x), ~x \in D, 且R_g\subset D_f \newline 则y=f[g(x)], x\in D 称为由上述2式确定的复合函数，u称为中间变量。$$

注意：构成复合函数的条件 $R_g\subset D_f$不可少。

函数的运算

设函数 $f(x),g(x)$的定义域分别是 $D_1,D_2$， $D=D_1\cap D_2 \ne \varnothing$，则我们可以定义这两个函数的下列运算：

$$\begin{array} \newline ( f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)&x\in D\newline (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)&x\in D\newline (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}&x\in D~\cap\{x|g(x)\ne0\} \end{array}$$